【设e，f是两个banah空间，令a:(a)′ef为一个闭算子，且(a)′=e。求证：(a′)′σ(f′，f)=f′(a′)σ(f′，f)=f′。其中a′是a的伴随算子，f′是f的对偶空间，σ(f′，f)为f′上的弱拓扑，(a′)′σ(f′，f)表示(a′)在弱拓扑σ(f′，f)下的闭包。

  叶秋走上讲台，看着黑板上已经写好的例题。

  “怎么样，能解不？”

  秃顶老师似笑非笑地看着叶秋。

  “问题不大！”

  叶秋沉吟一会儿，便直接唰唰唰写了起来；

  解：设f是e的子向量空间满足f′≠e则存在fe''''不为0，使得(f，x)=0，xf

  教室里忽然安静了下来，所有人都紧盯着黑板。

  慢慢地，议论声渐起。

  “我去，他还真会解！”

  “现在的高中生都这么夸张了嘛？”

  “麻蛋，泛函分析我都还没搞明白呢？这家伙竟然学会了。”

  “话说高中时期竞赛班的学生好像也没那么厉害吧！”

  “这家伙该不会真有能耐一小时不到就解完冬令营考试的三道大题吧”

  教室里响起一阵嗡嗡声。

  不少原本质疑叶秋的人，一个个脸上也流露出了凝重之色。

  要知道，泛函分析属于数学系的专业基础必修课，主要研究无穷维函数空间的数学分析，一般要到大三才能学到。

  在学习这门课之前，你首先得掌握高等代数数学分析实变函数集论拓扑复变函数实分析常微分方程偏微分方程等课程。

  问题是，这些课程都只有大学才有，至少要花两年以上的时间才能掌握。

  而讲台上这个年轻人，不过是一名高中生。

  高中时代，语文数学英语物理化学生物都学不过来了，他哪来的时间，哪来的精力掌握这些知识？

  这些人自然不知道，过去两个多月，叶秋除了抽出一小部分精力复习五大学科竞赛之外，剩下的时间，全部放在了大部头的数学原理上面。

  他非但将布尔巴基学派的数学原理全部看了一遍，而且还在进一步深入反刍研究。

  别说本科阶段学习的线性泛函分析了，即使研究生阶段才能学到的非线性泛函分析，对他而言也没什么难度。

  唰唰唰——

  叶秋在黑板上轻松写完最后一行字，笑着对秃顶老师道：“老师，解完了！”

  秃顶老师若有所思地看着叶秋：“泛函分析的知识你都掌握了？”

  “差不多全都掌握了！”

  叶秋微微一笑，淡定道。

  “那你能说一说自己对这门课程的理解吗？”

  秃顶老师眼睛冒光。

  如果叶秋没有吹牛，真的高中阶段就学完了泛函分析的内容，那毫无疑问是一名数学天才。

  到时候就算在数学奥林匹克冬令营里面表现一般，自己也可以强烈建议学校录取他！

  叶秋微微一愣，说道：“行吧，那我就讲一讲！”

  “众所周知，泛函分析这门学科诞生于20世纪的初期，本身是数学发展中公理化的一个结果。也就说，数学家希望实现分析学的公理化。同样的公理化运动也出现在几何和代数上。现在的泛函分析已经变成一个庞然巨兽了，特别是把它和调和分析放在一起的时候，很难分清楚什么叫做调和分析，什么叫做泛函分析。不过我接下来要讲的不是为了搞清楚它的定义，而是关注它的基础和未来的发展趋势。”

  “我们首先讨论一些早期的抽象分析，尤其是数学家如何将一个特殊的例子扩大化，使之成为一般意义上的定理。我们的讨论主要涵盖以下内容。一、弗雷德霍姆，希尔伯特关于积分方程的工作；二、vlterra和haaar关于动量问题的研究；三、lebesge，frehet和ries在抽象空间上的工作以及最后，hahn和banah关于对偶这个概念的研究”

  叶秋的语气不疾不徐，却吸引了所有人的目光。

  一旁的秃顶老师眼睛也不由得开始瞪圆。

  正常讲述一门课的时候，通常从基础开始，然后慢慢扩展并深入挖掘。

  但叶秋的讲课方法完全不一样，他是从泛函分析的发展史开始讲解，结合数学史的一些知识，然后再慢慢深入。

  这种讲解方法，无疑对学生更有吸引了。

  而且最关键的是，叶秋在讲解的时候，往往从最本质的一些东西出发，即使一些相当抽象的概念，他也能轻易将其转化成同学们更容易理解的概念。

  甚至连秃顶老师自己，也渐渐被叶秋的讲课给吸引住了。

  教室里渐渐安静了下来，只留下叶秋的声音在空中回荡。

  “弗雷德霍姆和希尔伯特关于积分方程的工作，我们可以从以下两个具体事例开始。最早的积分方程来源傅立叶研究热问题。1822年，傅立叶讨论了如果去逆向解如下的方程：f(x)=reitxg(t)t，也就是已知f，怎么求出g。现代的语言中，这其实就是求傅立叶变换的逆变换”

  “其次，就是liville在研究二阶常微分方程的时候发现它们等价于一类积分方程。比如，方程的解f“(x)g(x)=f(x)。如果满足边界条件f(a)=1，f''''(a)=0利用这个方程的基本解可以证明方程的解满足”

  铃铃铃——

  不知何时，下课铃声响了起来。

  叶秋放下粉笔，微笑道：“时间差不多了，这是我本人关于泛函分析的理解，老师，您还有什么问题吗？”

  秃顶老师这才回过神来，他深深地看了叶秋一眼，并没有直接回答叶秋，而是转向下面的同学：“大家觉得这位叶秋同学讲得怎么样？”